Физмат-ссылки
• Загадка времени — продолжаем не знать, что такое время. Universe vs multiverse. (←)
• Dimensions — серия видеофильмов про размерности, фигуры, проекции, преобразования, комплексные числа, фракталы, множества Жулиа и Мандельброта (наконец-то простым языком) и т.д. (← ⤎
⤎)
[Всё на англ., в крайнем случае, фр.]
Links #808
Продолжая тему оптимизации расстановки ограниченных ресурсов в двумерном пространстве с учётом максимального покрытия потока объектов с фиксированным уровнем защиты, движущихся по линии без самопересечений, даю ссылку на ещё одну игру из этой же серии — Bloons Tower Defense (2).
Из совсем другой оперы:
e^pi−pi=20. Ну почти :) И много других почти целых выражений. А того, чего искал, не нашёл: было ещё какое-то простое выражение, вроде e в какой-то степени или что-то похожее, а значением его было число с @#$надцатью знаками в целой части, а потом с несколькоми нулями подряд в дробной, т.е. тоже практически целое. Никто не помнит?
Curta calculator — прикладной Кулибин, или как это было до изобретения транзистора.
155,583,825 — столько сайтов в Интернете сейчас.
Узлы. По-моему, до сих пор в каких-то закромах должна храниться бумажка с аккуратно перерисованными мною узлами, аж 30 или 40 штук! А теперь вона как это делается.
Какая погода на улице и что надеть. Гениально! :)
Вольфрам, Тьюринг и Алекс Смит
Мало того, что Вольфрам оказался человеком, так ещё и доказано, что машина Тьюринга — универсальна. And the winner is... Alex Smith.
reCAPTCHA + Sacks spiral
Вдогонку к посту от 24 марта: CAPTCHA, выполняющая полезную работу — помогает производить OCR отсканированных книг. (Пример.)
Ну и чтоб два раза не вставать.
Про спираль Улама, конечно, все знают.
А есть, оказывается, и спираль Сакса.
Тоже красиво получается.
Одной строкой
• 40337956 — The only number such that ±A^B±C^D±E^F±… = ABCDEF…
• The shortest and "mysterious" Tower of Hanoi algorithm (in C).
• Why men like to gaze on the female form.
• За стеклом - 2007. Justin's got a cam [justin.tv].
• 12½ TB of music indexed and ready for listening [kamillik.com]. (2007.11.04 26½)
• Daily 9x9 Nurikabe (a game kinda like minesweeper + sea battle).
Трудные дни: 2007-04-24,17, 2006-02-12
Гиперкуб
У гиперкуба шестнадцать вершин
...Тридцать два ребра
...Двадцать четыре грани
Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из
граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу.
Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем
всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен
восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат
на наружной поверхности гипертела.
Д.Бюргер. Сферландия.
Как жаль, что в детстве не было еМула!
Да и вообще интернета.
Да что там, даже компьютеров не было.
Блин, даже калькуляторов!
Пытаясь осмыслить четвёртое измерение
Возьмём обобщённую сферу/шар — это множество точек, равноудалённыых/находящихся на расстоянии не больше заданного от центра сферы/шара. В одномерном пространстве (на линии) это будет две точки/отрезок. В двумерном пространстве это будет окружность/круг. В трёхмерном пространстве — нашем родном — это будет... так и будет сфера/шар. А вот большие измерения уже невозможно представить, придётся остановиться и придумать только какое-нибудь название, например, гипер-сфера/гипер-шар.
Жители меньших измерений могут попытаться представить жизнь в больших измерениях (по крайней мере, в следующем измерении) с помощью проекций или сечений. Образно это можно себе представить так, что фигура большего измерения проходит (пересекает) меньшее измерение и мы можем описать, что же будет видно в меньшем.
Если окружность протаскивать через линию, то в момент касания в 1-D мире появится точка, потом она раздвоится и две точки будут расходится, а потом обратно сходится, пока не сойдутся в точку, а затем исчезнут вовсе. Наблюдатель из 1-D увидит, что откуда ни возьмись появилась точка, которая увеличилась в 1-D сферу, которая затем уменьшилась и пропала.
Для плоскиков — жителей 2-D — похоже будет выглядеть проход 3-D сферы через из мир. Сначала появится точка, затем — 2-D сфера, т.е. окружность, она увеличится, уменьшится и затем пропадёт. Скорость увеличения-уменьшения будет изменяться, очевидно, по синусоидальному закону, если скорость прохождения (вдоль перпендикулярной оси из следущего измерения) будет постоянна.
Теперь можно представить, что будет при проходе через наш 3-D мир сферы из 4-D. Сначала "из ничего" появится точка, которая раздуется в сферу, и которая затем обратно уменьшится и пропадёт. Таким образом мы сумеем полностью увидеть сферу из 4-D. Собственно, трюк состоит в замене простанственной координаты временной. Для шара — всё то же самое, только фигуры будут сплошные.
Задание на следующий раз — 5-D сфера в нашем мире, 2,3,4-D тор и полый шар.
π
Ух ты, а я и не знал! Есть формула для вычисления произвольных знаков пи без вычисления предшествующих знаков! Из неё же, грубо говоря, следует и то, что все цифры в пи случайны и равновероятны.
Сумма ряда
Кто-нибудь знает, как посчитать сумму ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + N/2^N + ...? Должно получиться 2, но как это доказывается?
Did you know...
C:\>python
>>> from math import pi, e
>>> (pi**4 + pi**5) ** (1/6.0)
2.7182818086119149
>>> e
2.7182818284590451
source: have your own pi t-shirt
100 заключённых и одна лампочка
В тюрьме в одиночных камерах содержится 100 заключённых. Есть также одна центральная комната с лампочкой. В начале задачи эта лампочка выключена. Горит она или нет - из камер не видно. Каждый день охрана случайно выбирает одного заключённого, и он может зайти в эту комнату и включить или выключить лампочку, если он хочет. Также у него есть право сделать заявление о том, что все 100 заключённых побывали в этой комнате. Если его утверждение истинно, всех заключённых выпускают и принимают в общество гениальных людей MENSA. Если утверждение ложно, то следующим же утром всех расстреливают. Поэтому такое заявление следует делать только при 100% уверенности. Перед началом "эксперимента" заключённые могут собраться и выработать план. В дальнейшем все контакты между ними исключены.
Возможен ли такой план действий, что в конце концов кто-то из заключённых может сделать правильное утверждение?
Тут - разбор и решение (на англ., pdf).
Кстати, нашёл второй вариант этой задачи и ещё много задач и головоломок. Всё на английском.