moon_aka_sun | Entries tagged with math

42 дня — это не только примерно 1000 часов, но и ровно 10! секунд. Довольно неожиданно.

Хехе, не знал этой шутки.

• Загадка времени — продолжаем не знать, что такое время. Universe vs multiverse. (←)
• Dimensions — серия видеофильмов про размерности, фигуры, проекции, преобразования, комплексные числа, фракталы, множества Жулиа и Мандельброта (наконец-то простым языком) и т.д. (← ⤎ ⤎)
[Всё на англ., в крайнем случае, фр.]

Продолжая тему оптимизации расстановки ограниченных ресурсов в двумерном пространстве с учётом максимального покрытия потока объектов с фиксированным уровнем защиты, движущихся по линии без самопересечений, даю ссылку на ещё одну игру из этой же серии — Bloons Tower Defense (2).

Из совсем другой оперы:

e^pi−pi=20. Ну почти :) И много других почти целых выражений. А того, чего искал, не нашёл: было ещё какое-то простое выражение, вроде e в какой-то степени или что-то похожее, а значением его было число с @#$надцатью знаками в целой части, а потом с несколькоми нулями подряд в дробной, т.е. тоже практически целое. Никто не помнит?

Curta calculator — прикладной Кулибин, или как это было до изобретения транзистора.

155,583,825 — столько сайтов в Интернете сейчас.

Узлы. По-моему, до сих пор в каких-то закромах должна храниться бумажка с аккуратно перерисованными мною узлами, аж 30 или 40 штук! А теперь вона как это делается.

Какая погода на улице и что надеть. Гениально! :)

Мало того, что Вольфрам оказался человеком, так ещё и доказано, что машина Тьюринга — универсальна. And the winner is... Alex Smith.

Вдогонку к посту от 24 марта: CAPTCHA, выполняющая полезную работу — помогает производить OCR отсканированных книг. (Пример.)

Ну и чтоб два раза не вставать.
Про спираль Улама, конечно, все знают.
А есть, оказывается, и спираль Сакса.
Тоже красиво получается.

• 40337956 — The only number such that ±A^B±C^D±E^F±… = ABCDEF…

• The shortest and "mysterious" Tower of Hanoi algorithm (in C).

• Why men like to gaze on the female form.

• За стеклом - 2007. Justin's got a cam [justin.tv].

• 12½ TB of music indexed and ready for listening [kamillik.com]. (2007.11.04 26½)

• Daily 9x9 Nurikabe (a game kinda like minesweeper + sea battle).

Nurikabe 9x9 Трудные дни: 2007-04-24,17, 2006-02-12

У гиперкуба шестнадцать вершин
...Тридцать два ребра
...Двадцать четыре грани
Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу. Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат на наружной поверхности гипертела.

Д.Бюргер. Сферландия.

Как жаль, что в детстве не было еМула!
Да и вообще интернета.
Да что там, даже компьютеров не было.
Блин, даже калькуляторов!

Возьмём обобщённую сферу/шар — это множество точек, равноудалённыых/находящихся на расстоянии не больше заданного от центра сферы/шара. В одномерном пространстве (на линии) это будет две точки/отрезок. В двумерном пространстве это будет окружность/круг. В трёхмерном пространстве — нашем родном — это будет... так и будет сфера/шар. А вот большие измерения уже невозможно представить, придётся остановиться и придумать только какое-нибудь название, например, гипер-сфера/гипер-шар.

Жители меньших измерений могут попытаться представить жизнь в больших измерениях (по крайней мере, в следующем измерении) с помощью проекций или сечений. Образно это можно себе представить так, что фигура большего измерения проходит (пересекает) меньшее измерение и мы можем описать, что же будет видно в меньшем.

Если окружность протаскивать через линию, то в момент касания в 1-D мире появится точка, потом она раздвоится и две точки будут расходится, а потом обратно сходится, пока не сойдутся в точку, а затем исчезнут вовсе. Наблюдатель из 1-D увидит, что откуда ни возьмись появилась точка, которая увеличилась в 1-D сферу, которая затем уменьшилась и пропала.

Для плоскиков — жителей 2-D — похоже будет выглядеть проход 3-D сферы через из мир. Сначала появится точка, затем — 2-D сфера, т.е. окружность, она увеличится, уменьшится и затем пропадёт. Скорость увеличения-уменьшения будет изменяться, очевидно, по синусоидальному закону, если скорость прохождения (вдоль перпендикулярной оси из следущего измерения) будет постоянна.

Теперь можно представить, что будет при проходе через наш 3-D мир сферы из 4-D. Сначала "из ничего" появится точка, которая раздуется в сферу, и которая затем обратно уменьшится и пропадёт. Таким образом мы сумеем полностью увидеть сферу из 4-D. Собственно, трюк состоит в замене простанственной координаты временной. Для шара — всё то же самое, только фигуры будут сплошные.

Задание на следующий раз — 5-D сфера в нашем мире, 2,3,4-D тор и полый шар.

Ух ты, а я и не знал! Есть формула для вычисления произвольных знаков пи без вычисления предшествующих знаков! Из неё же, грубо говоря, следует и то, что все цифры в пи случайны и равновероятны.

pi=sum(k=0..INF,1/16^k*(4/(8*k+1)-2/(8*k+4)-1/(8*k+5)-1/(8*k+6))

Кто-нибудь знает, как посчитать сумму ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + N/2^N + ...? Должно получиться 2, но как это доказывается?

C:\>python
>>> from math import pi, e
>>> (pi**4 + pi**5) ** (1/6.0)
2.7182818086119149
>>> e
2.7182818284590451

source: have your own pi t-shirt

В тюрьме в одиночных камерах содержится 100 заключённых. Есть также одна центральная комната с лампочкой. В начале задачи эта лампочка выключена. Горит она или нет - из камер не видно. Каждый день охрана случайно выбирает одного заключённого, и он может зайти в эту комнату и включить или выключить лампочку, если он хочет. Также у него есть право сделать заявление о том, что все 100 заключённых побывали в этой комнате. Если его утверждение истинно, всех заключённых выпускают и принимают в общество гениальных людей MENSA. Если утверждение ложно, то следующим же утром всех расстреливают. Поэтому такое заявление следует делать только при 100% уверенности. Перед началом "эксперимента" заключённые могут собраться и выработать план. В дальнейшем все контакты между ними исключены.

Возможен ли такой план действий, что в конце концов кто-то из заключённых может сделать правильное утверждение?

Тут - разбор и решение (на англ., pdf).

Кстати, нашёл второй вариант этой задачи и ещё много задач и головоломок. Всё на английском.

   0 = 3 - 4 - 5 + 6
   1 = 3 * 4 - 5 - 6
   2 = -3 + 4 - 5 + 6
   3 = 3 * (4 - 5) + 6
   4 = -3 - 4 + 5 + 6
   5 = (3 + 4 - 6) * 5
   6 = 3 + 4 + 5 - 6
   7 = 3 - 4 * (5 - 6)
   8 = 3 + 4 - 5 + 6
   9 = 3 * 6 - 4 - 5
  ( ... )
6543 = 6543