Пытаясь осмыслить четвёртое измерение

[moon_aka_sun]

Возьмём обобщённую сферу/шар — это множество точек, равноудалённыых/находящихся на расстоянии не больше заданного от центра сферы/шара. В одномерном пространстве (на линии) это будет две точки/отрезок. В двумерном пространстве это будет окружность/круг. В трёхмерном пространстве — нашем родном — это будет... так и будет сфера/шар. А вот большие измерения уже невозможно представить, придётся остановиться и придумать только какое-нибудь название, например, гипер-сфера/гипер-шар.

Жители меньших измерений могут попытаться представить жизнь в больших измерениях (по крайней мере, в следующем измерении) с помощью проекций или сечений. Образно это можно себе представить так, что фигура большего измерения проходит (пересекает) меньшее измерение и мы можем описать, что же будет видно в меньшем.

Если окружность протаскивать через линию, то в момент касания в 1-D мире появится точка, потом она раздвоится и две точки будут расходится, а потом обратно сходится, пока не сойдутся в точку, а затем исчезнут вовсе. Наблюдатель из 1-D увидит, что откуда ни возьмись появилась точка, которая увеличилась в 1-D сферу, которая затем уменьшилась и пропала.

Для плоскиков — жителей 2-D — похоже будет выглядеть проход 3-D сферы через из мир. Сначала появится точка, затем — 2-D сфера, т.е. окружность, она увеличится, уменьшится и затем пропадёт. Скорость увеличения-уменьшения будет изменяться, очевидно, по синусоидальному закону, если скорость прохождения (вдоль перпендикулярной оси из следущего измерения) будет постоянна.

Теперь можно представить, что будет при проходе через наш 3-D мир сферы из 4-D. Сначала "из ничего" появится точка, которая раздуется в сферу, и которая затем обратно уменьшится и пропадёт. Таким образом мы сумеем полностью увидеть сферу из 4-D. Собственно, трюк состоит в замене простанственной координаты временной. Для шара — всё то же самое, только фигуры будут сплошные.

Задание на следующий раз — 5-D сфера в нашем мире, 2,3,4-D тор и полый шар.

Comments

[inv2004.livejournal.com]

Я вроде уже где-то поднимал этот вопрос: но почему координату заменять только временной осью ?
ведь например есть ещё цвета. причём если разделить на RGB, то получается ещё +3 измерения.

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Графики функций комплексных переменных?

Хорошо получается только для поверхностей. Даже 3-D сферу изобразить в XYR уже не получается - только полусферу. А шар - вообще не мыслимо. В какой-то точке X.Y R принимает множество значений, пусть даже отрезок в простейшем случае, а мы можем видеть только одно значение.

А с 4-D сферой в XYZR что-то с наскоку не получается. Может хоть какой-то её кусок (шаровой сегмент? сектор?) удастся представить...

[bakrik.livejournal.com]

Флатландию ты, конечно, читал :)

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Где-то какие-то упоминания помню, но полностью - нет.

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Да, Гарднера читал, а он там рассказывал о Флатландии.
Качаеццо.

[bakrik.livejournal.com]

Интересно :) Просто ты в точности повторил рассуждения из Флатландии и Сферландии (они издавались одной книжкой, потому я не помню, откуда именно :))

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Так там больше по-другому и не придумаешь :) Я вчера прочёл оба микро-романа. Там ещё несколько математических статей в конце, но их уже так с наскока не прочтёшь, придётся много раз и тщательно штудировать.

[bakrik.livejournal.com]

Ну, понятно, что другого описания и быть не может, но такое дословное совпадение поражает :) А правда классные книжки для любителя математики 8-10-летнего возраста? :) Я обожал в свое время :)

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Да, я только такие книги и читал :) Но именно Флатландии/Сферландии не было. В магазинах книжки покупались :)

[bakrik.livejournal.com]

Я ее, помнится, в магазине и брал - в букинистическом, правда. Серия была такая, там и Гарднер печатался, и еще замечательная книжка какого-то венгра, про головоломки и парадоксы. Еще и другие были, но эти я лучше помню :)