Сумма ряда

[moon_aka_sun]

Кто-нибудь знает, как посчитать сумму ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + N/2^N + ...? Должно получиться 2, но как это доказывается?

Comments

[siberian-cat.livejournal.com]

Поскольку все члены ряда положительные, мы их можем перегруппировывать как угодно. Представим эту сумму так:

(1/2 + 1/4 + 1/8 ...) + (1/4 + 1/8 + 1/16 ...) + (1/8 + 1/16 + 1/32 ...) + ...

Первая сумма равна 1, вторая 1/2, третья 1/4 - и так далее. Всё в сумме даёт 2.

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Вот ведь. Как просто :) Спасибо!!!

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Кстати, ряд - это я пытался найти среднюю длину (М,О, длины) игры в Санкт-петербургском парадоксе. Нашёл, 2. Правда, это ничего не даёт :)

[siberian-cat.livejournal.com]

А ещё можно просто просуммировать ряд. Сумма первых N членов будет равна

2 - (N+2)/2^N,

что легко доказывается по индукции. Нетрудно видеть, что сумма стремится к 2.

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Да. Даже так, мдааа :) Ну хоть основные операции и дроби ещё помню, и то хорошо :)

[shoom.livejournal.com]

Можно еще так:

sum( N/2^N) = -x* (d/dx)( sum(1/x^N) ) при x=2

-x* (d/dx)( sum(1/x^N) ) = -x*(d/dx)( x/(1-x)) = -x*(-1)/(x-1)^2 = x/(x-1)^2

При x=2 получаем
sum( N/2^N) = 2/(2-1)^2 = 2

Заодно получили и общий ответ для sum(N/x^N) ;)

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Эх, ничего уже такого не помню. Уходит, как вода в песок. Всё теперь компьютер в конкретных числах считает.