Сумма ряда

[moon_aka_sun]

Кто-нибудь знает, как посчитать сумму ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + N/2^N + ...? Должно получиться 2, но как это доказывается?

Comments

[siberian-cat.livejournal.com]

Поскольку все члены ряда положительные, мы их можем перегруппировывать как угодно. Представим эту сумму так:

(1/2 + 1/4 + 1/8 ...) + (1/4 + 1/8 + 1/16 ...) + (1/8 + 1/16 + 1/32 ...) + ...

Первая сумма равна 1, вторая 1/2, третья 1/4 - и так далее. Всё в сумме даёт 2.

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Вот ведь. Как просто :) Спасибо!!!

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Кстати, ряд - это я пытался найти среднюю длину (М,О, длины) игры в Санкт-петербургском парадоксе. Нашёл, 2. Правда, это ничего не даёт :)