Сумма ряда

[moon_aka_sun]

Кто-нибудь знает, как посчитать сумму ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + ... + N/2^N + ...? Должно получиться 2, но как это доказывается?

Comments

[shoom.livejournal.com]

Можно еще так:

sum( N/2^N) = -x* (d/dx)( sum(1/x^N) ) при x=2

-x* (d/dx)( sum(1/x^N) ) = -x*(d/dx)( x/(1-x)) = -x*(-1)/(x-1)^2 = x/(x-1)^2

При x=2 получаем
sum( N/2^N) = 2/(2-1)^2 = 2

Заодно получили и общий ответ для sum(N/x^N) ;)

[moon-aka-sun.livejournal.com]

Эх, ничего уже такого не помню. Уходит, как вода в песок. Всё теперь компьютер в конкретных числах считает.